2020届高考数学教材知识点函数的奇偶性与周期性复习导学案教案

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【学习目标】
1.了解奇函数、偶函数的定义,并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性.
2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系,并熟练地利用对称性解决函数的综合问题.
预 习 案
1.奇函数、偶函数、奇偶性
对于函数f(x),其定义域关于原点对称:
(1)如果对于函数定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就是奇函数;
(2)如果对于函数定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就是偶函数;
(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数),那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性.
2.证明函数奇偶性的方法步骤
(1)确定函数定义域关于 对称;
(2)判定f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),从而证得函数是奇(偶)函数.
3.奇偶函数的性质
(1)奇函数图像关于 对称,偶函数图像关于 对称;
(2)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)= ;
(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性 ;
若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性 .
(4)若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|),反之也成立.
4.一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)=ax+a-x为 函数,函数f(x)=ax-a-x为 函数;
(2)函数f(x)=ax-a-xax+a-x=a2x-1a2x+1(a>0且a≠1)为 函数;
(3)函数f(x)=loga1-x1+x为 函数;
(4)函数f(x)=loga(x+x2+1)为 函数.
5.周期函数
若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数),则f(x)为周期函数.
6.函数的对称性
若f(x)对于定义域中任意x,均有f(x)=f(2a-x),或f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)关于 对称.
【预习自测】
1.(课本改编题)下列函数中,所有奇函数的序号是_______.
①f(x)=2x4+3x2;    ②f(x)=x3-2x; ③f(x)=x2+1x; ④f(x)=x3+1.

2.下列函数为偶函数的是 (  )
A.y=sinx      B.y=x3 C.y=ex D.y=lnx2+1
3.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.

4.若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)图像上的 ( )
A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a)) C.(-a,-f (-a)) D.(a,f(-a))

5.(2013•衡水调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)•f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=________.
探 究 案
题型一 判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
(1)f(x)=x2-|x|+1 x∈; (2)f(x)=(x-1)1+x1-x x∈(-1,1);
(3)f(x)=1ax-1+12  (a>0,a≠1).


探究1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=ln2-x2+x; (2)g(x)=x2+|x-a|; (3)f(x)=x2-2x x≥0,x2+2x x<0.

题型二 奇偶性的应用
例2. (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R, x>0时,f(x)=x+1,f(x)的解析式为 .

(2)f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且x∈时f(x)为增函数,则不等式f(x)+f(x-12)<0的解集为 .

(3)函数f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图像的对称轴方程为

探究2. (1)若函数f(x)是R上的偶函数,且在上,只有f(1)=f(3)=0.
(1)证明:函数f(x)为周期函数;
(2)试求方程f(x)=0在闭区间上的根的个数,并证明你的结论.

探究3.(1)f(x)的定义域为R的奇函数,且图像关于直线x=1对称,试判断f(x)的周期性.

(2)f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均满足f(x)=-1fx+1,试判断函数f(x)的周期性.

例4. 已知f(x)为偶函数,且f(-1-x)=f(1-x),当x∈时,f(x)=-x+1,求x∈时,f(x)的解析式.

探究4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 011).

我的学习总结:
(1)我对知识的总结 .
(2)我对数学思想及方法的总结

 

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