2020.1高三文科数学期末试卷(东城区带答案)

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东城区高三年级第一学期期末练习
数学(文科) 2018.1
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合 ,则
A. B. C. D.
(2)下列函数中为偶函数的是
A. B.
C. D.
(3)直线 与圆 相交于 两点,,则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,
(4)执行如图所示的程序框图,若输入 ,则输出的 值为
A.8
B.19
C. 42
D.89
(5)已知向量a ,b , c ,
若(2a-b) c,则实数
A. B. C. D.
(6)已知 ,则
A. B. C. D.
(7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为
A. B. C. D.


(8)再一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为
A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙

第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)复数 .
(10)双曲线 的渐近线方程为 .
(11)若 满足 ,则 的最大值是 .
(12)在 中, ,则 , 的面积为 .
(13)函数 当 时, 的值域为 ;当 有两个不同零点时,实数 的取值范围为 .
(14)设命题 已知 ,满足 的所有点 都在 轴上.能够说明命题 是假命题的一个点 的坐标为 .
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
已知 是等差数列, 是等比数列,且 .
(Ⅰ)数列 和 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列 前 项和.


(16)(本小题13分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时,求函数 在区间 上的最大值与最小值;
(Ⅱ)当 的图像经过点 时,求 的值及函数 的最小正周期.


(17)(本小题14分)
“砥砺奋进的五年”,首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来,北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需,促进消费等政策的出台,居民消费支出全面增长,消费结构持续优化升级,城乡居民人均可支配收入快速增长,人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图(例如2012年,北京城镇居民收入实际增速为7.3%,农村居民收入实际增速为8.2%).


(Ⅰ)从2012-2016五年中任选一年,求城镇居民收入实际增速大于7%的概率;
(Ⅱ)从2012-2016五年中任选一年,求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率;
(Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大?(结论不要求证明)





(18)(本小题13分)
如图,在四棱锥 中, 是等边三角形, 为 的中点,四边形 为直角梯形, .
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)求四棱锥 的体积;
(Ⅲ)在棱 上是否存在点 ,使得 平面 ?说明理由.






(19)(本小题14分)
已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)求 的单调区间;
(Ⅲ)若对于任意 ,都有 ,求实数 的取值范围.
求证:“ ”是“函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件.

(20)(本小题13分)
已知椭圆 的右焦点 与短轴两个端点的连线互相垂直.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)设点 为椭圆 的上一点,过原点 且垂直于 的直线与直线 交于点 ,求 面积 的最小值.

东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C (2)D (3)A (4)C
(5)A (6)D (7)B (8)A
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9) (10)
(11) (12) ,
(13) , 或
(14)
(点 的坐标只需满足 ,
或 , )
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 .
因为 ,所以 .
解得 .
又因为 ,所以 .
所以 , , . ……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , .
因此
数列 前 项和为 .
数列 的前 项和为 .
所以,数列 的前 项和为 , . ………13分
(16)(共13分)
解:(Ⅰ)当 时,


.
因为 ,
所以 .
所以,当 ,即 时, 取得最大值 ,
当 ,即 时, 取得最小值为 . ………6分(Ⅱ)因为 ,
所以 .
因为 的图象经过点 ,
所以 ,即 .
所以 .
所以 .
因为 ,
所以 .
所以 的最小正周期 . ……13分
(17)(共13分)
解:(Ⅰ)设城镇居民收入实际增速大于 为事件 ,由图可知,这五年中有 这三年城镇居民收入实际增速大于 ,所以 . ……5分
(Ⅱ)设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超 为事件 ,这五年中任选两年,有 , , , , , , , , , 共 种情况,其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过 的为前 种情况,所以 . ………10分
(Ⅲ)从 开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. ………13分
(18)(共14分)
解:(Ⅰ) 因为 , , ,
所以 平面 .
因为 平面 ,
所以平面 平面 . ………5分
(Ⅱ)连接 .
因为△ 为等边三角形, 为 中点,
所以 .
因为 平面 ,
所以 .
因为 ,
所以 平面 .
所以 .
在等边△ 中, ,

所以 . ………9分
(Ⅲ)棱 上存在点 ,使得 ∥平面 ,此时点 为 中点.
取 中点 ,连接 .
因为 为 中点,
所以 ∥ .
因为 平面 ,
所以 ∥平面 .
因为 为 中点,
所以 ∥ .
因为 平面 ,
所以 ∥平面 .
因为 ,
所以平面 ∥平面 .
因为 平面 ,
所以 ∥平面 . ………14分
(19)(共14分)
解:(Ⅰ)因为函数 ,
所以 ,
.
又因为 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 . ………4分
(Ⅱ)函数 定义域为 ,
由(Ⅰ)可知, .
令 解得 .
与 在区间 上的情况如下:



极小值

所以, 的单调递增区间是 ;
的单调递减区间是 . ………9分
(Ⅲ)当 时,“ ”等价于“ ”.
令 , ,
, .
当 时, ,所以 在区间 单调递减.
当 时, ,所以 在区间 单调递增.
而 ,
.
所以 在区间 上的最大值为 .
所以当 时,对于任意 ,都有 . ………14分
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)由题意,得
解得 .
所以椭圆 的方程为 . ………4分
(Ⅱ)设 , ,则 .
①当 时,点 , 点坐标为 或 ,

②当 时,直线 的方程为 .即 ,
直线 的方程为 .
点 到直线 的距离为
, .
所以, .
又 ,

所以

且 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
综上,当 时, 取得最小值1. ………13分

 

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